Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Gut, dann fangen wir mal an. In der letzten Vorlesung haben wir ja das Kapitel spezielle

Differentialgleichung zweite Ordnung begonnen. Da gibt es wieder für einige Differentialgleichung

zweite Ordnung, die eine spezielle Form haben, eine Methode, um eine analytische Lösung zu

bestimmen. Also man führt das dann wieder auf Integration zurück. Wir hatten schon den ersten

Typ gesehen und der ist ganz einfach zu verstehen. Das ist der Typ, wo die Funktion selbst nicht

vorkommt. Man hat dann also y' als Funktion von y' ausgedrückt und wenn man dann y' z nennt,

dann ist z' die zweite Ableitung und dann hat man also eine Differentialgleichung erste Ordnung

für diese Funktion z. Deshalb kann man das lösen. Jetzt kommen wir zu einem zweiten Typ und das ist

der Typ, wo x nicht explizit in der rechten Seite der Differentialgleichung auftaucht. Das ist unser

zweiter Typ. x tritt nicht auf. Die rechte Seite wird dann also nur von den Werten der Lösung

beeinflusst, nicht von dem x. Das nennt man deshalb eine autonome Differentialgleichung.

Die Differentialgleichung hat dann also folgende Form. Die zweite Ableitung y'

ist eine Funktion von y' und y. Auf jeden Fall kommt hier auf der rechten Seite also kein x

explizit vor und dazu gehören dann die entsprechenden Anfangsbedingungen. Also y an einer Stelle x0 hat

einen vorgegebenen Wert alpha 0. Bei den Differentialgleichungen zweite Ordnung braucht

man ja auch noch eine Anfangsbedingung, einen Anfangswert für y' an der Stelle x0.

y' an der Stelle x0 sei auch vorgegeben. Das ist alpha 1. Und hier kann es natürlich auch

konstante Lösungen geben. Bei konstanten Funktionen ist die zweite Ableitung 0,

die erste Ableitung 0, dann ist f an der Stelle y0 gleich 0. Das kann man prüfen,

gibt es konstante Lösungen und bei nicht konstanten Lösungen kann man ja lokal eine

Umkehrfunktion bestimmen. Und deshalb kann man hier auch wieder diesen Trick des Übergangs zur

Umkehrfunktion durchführen. Das hatten wir ja schon als eine Möglichkeit der Lösung bei den

Differentialgleichungen erste Ordnung gesehen und hier kann man auch wieder diesen Übergang zur

Umkehrfunktion durchführen. Durch Übergang zur Umkehrfunktion und wir hatten ja diese

Umkehrfunktion z von x genannt bei den Differentialgleichungen erste Ordnung. Die brutale

Methode ist die Umkehrfunktion x von y zu nennen. Also die Funktion heißt ja y von x und um die

Umkehrfunktion zu bestimmen muss man ja diese Gleichung nach x auflösen und erhält dann x

durch y ausgedrückt und das ist der Grund für diese Notation x von y erhält man für die erste

Ableitung hat man ja y Strich an der Stelle x ist gleich 1 dividiert durch x Strich an der Stelle

y von x das ist diese Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion wir haben hier eine Differentialgleichung

zweite Ordnung deshalb brauchen wir auch noch x 2 Strich von y dazu drücken wir y 2 Strich von x

aus durch dieses x von y indem wir das einfach noch einmal durchdifferenzieren dazu leiten wir

erst dieses 1 durch z ab das gibt minus 1 durch z Quadrat also in unserem Fall minus 1 dividiert

durch x Strich an der Stelle y zum Quadrat wenn wir x Strich noch einmal ableiten erhalten wir

x 2 Strich also x 2 Strich an der Stelle y von x und jetzt müssen wir das y auch noch einmal

nach x ableiten und dann erhalten wir hier y Strich von x und das y Strich von x können wir

ja auch mit dem x Strich ausdrücken mit der Gleichung die da drüber steht und das machen wir jetzt dann

erhalten wir minus 1 dividiert durch x Strich von y hoch 3 also zum Quadrat steht hier sowieso und

eins kommt noch aus y Strich dazu und dahinter steht x 2 Strich von y von x und damit kann man

jetzt y Strich und y 2 Strich in der Differentialgleichung ersetzen durch die entsprechende Ausdrücke

auf der rechten Seite also man drückt alles durch x Strich aus und x 2 Strich und damit erhält man

eine neue Differentialgleichung es folgt auf der linken Seite steht ja y 2 Strich das ersetzen wir

jetzt durch die andere Darstellung minus 1 dividiert durch x Strich in Klammern hoch 3 mal x 2 Strich

und das ist ja f an der Stelle y y Strich und das y lassen wir stehen das ist ja unsere Variable

jetzt wir haben ja x von y als Funktion und das y Strich ist gerade 1 durch x Strich also haben

wir jetzt eine neue Differentialgleichung die können wir jetzt nach x 2 Strich auflösen so

dass x 2 Strich allein auf der linken Seite steht damit erhalten wir folgendes x 2 Strich ist gleich

minus x Strich in Klammern hoch 3 mal f an der Stelle y 1 dividiert durch x Strich dazu kommen

jetzt die Anfangsbedingungen die muss man auch transformieren dazu muss man auf diese gegebenen